0!=1 0 에 어떤수를 곱해도 0 이라고 했는데 왜 0이 아니고 1 인가?

출처 : http://kin.naver.com/db/detail.php?d1id=11&dir_id=110203&eid=xrwD3eI/wyZSecN8oLUq3cK7scjNSSk7&qb=MMbRxeS4rr7z

저에게 항등원에 대한 문제제기로 질문을 하셨었더군요

질문자 정보를 보다가 이 질문을 하고 계신걸 찾아 답변해드립니다^^



우선 0팩토리얼은 '상식'이라는 것만 따지면 안됩니다

수학이라는 것은 원래 증명이 불가능한 공리(axiom)를 가지고 출발합니다

예를 들면 유클리드 기하학에서 '점과 선은 면적을 갖지 않는다'라는 것과 같은 것이죠

사실 우리가 종이에 쓰는 점,선은 면적,굵기를 갖고있는데 말이죠

팩토리얼을 왜 사용할까요??

팩토리얼은 먼저 확률 개념에서 등장했습니다

순열(Permutation)이나 조합(Combination)과 같은 계산결과가 3628800과 같은 숫자보다는 10!로 쓰는게 더 의미있고 편하기 때문이죠

3명의 사람이 일렬종대로 줄을 서는 방법은??? 3! = 6가지이죠

2명의 사람이 일렬종대로 줄을 서는 방법은??? 2! = 2가지이죠

1명의 사람이 일렬종대로 줄을 서는 방법은??? 1! = 1가지이죠

그렇다면 0명이 사람이 일렬종대로 줄을 서는 방법은?????? --> 0!

제가 왜 이런 황당한 질문을 했을까요

조금 더 구체적인 목적을 들자면 바로 이항정리라는 이론에서 나옵니다

(x+1)^5 과 같은 식을 전개를 하면

x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 이 되죠

계수만 따지고 보면 1,5,10,10,5,1 입니다

이러한 식을 표준화 하기 위하여 다르게 쓰면

5C5, 5C4, 5C3, 5C2, 5C1, 5C0 과 같이 됩니다 (C는 Combination)

즉, 5C5와 5C0을 써야하긴 하는데요

nCr은 n! / r!(n-r)! 이라는 컴비네이션 정의에 따라

5C0은 5! / 0!5! 과 같이 0!이란 부분이 생기게 됩니다

따라서 0!이라는 값을 정의할수 밖에 없고 자연스럽게 1이 합당하다고 판단되어 0!=1 이라고 '정의'를 내린것입니다

즉 0!이라는 생김새 자체에는 0을 곱했다는 의미가 없는 것이죠



참고로 2.6!과 같은 실수의 팩토리얼은 어떨까요?

팩토리얼은 음이 아닌 정수에서만 계산한다고 잘라 말할수도 있겠습니다만,

오늘날의 미적분학에서는 2.6!과 같은 값을 정의해야 합니다

다만 팩토리얼 자체의 기호와의 괴리와 연산구조적인 문제로 1을 더한 함수값을 취해야 하기때문에 부수적인 정의라는 점에서 팩토리얼로 표시하지 않고

г(n+1)이라는 감마함수로 표시합니다 (г는 대문자 감마입니다)

즉 2.6!은 г(3.6)이라는 얘기입니다

이건 그냥 참고로 붙여둔 얘기니까 너무 신경쓰시진 말구요, 0!도 감마함수처럼 필요에 의해 정의한 것이라는 것이 요지입니다