Cantor dust

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  이 프랙탈은 Cantor dust(칸토어의 먼지)로 알려져 있다. 이 프랙탈의 자기반복성은 주어진 선분을 삼등분하여 각 단계에서 가운데의 작은 선분을 제거하는 것이다. 몇 단계가 지난 후에 '먼지(dust)'처럼 남는 것이 거의 없다.


Purina Dog Chow

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  'Purina Dog Chow'로 알려진 이 프렉탈은 내부가 채워진 정사각형에서 시작한다. 정사각형의 각 변을 삼등분하고, 정사각형의 각 변들에게 평행하게 그 점들을 연결한다. 구석의 4개의 작은 정사각형과 가운데의 작은 정사각형을 제외하고 나머지 것들은 제거한다. 이러한 과정을 각 단계에서 계속한다.


Koch snowflake

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  위의 보여진 프렉탈은 Helge von Koch의 이름을 따서 '코흐 눈송이(Koch snowflake)' 라 한다. 이것은 정삼각형에서 시작한다. 각 변을 삼등분하자. 각 변에서 삼등분된 것 중 가운데 것을 제거하고 대신에 제거된 조각과 합동인 두 개의 선분으로 그것을 대처하는 과정을 반복한다.
 

 시에르핀스키 삼각형(The Sierpinski triangle)


  아래 그림은 시에르핀스키 삼각형 또는 시에르핀스키 캐스킷(gasket)이라 불리는 프렉탈을 나타낸 그림이다.
  1917년경 이것을 제시한 폴란드의 수학자
바츨라프 시에르핀스키의 이름을 딴 것이다.
  시어핀스키 삼각형은 불규칙적이라기보다는 오히려 규칙적인 알고리즘을 가지고 있다.

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     1. 색칠되어져 있는 임의의 정삼각형에서 시작하자.
     2. 주어진 삼각형의 변의 중점을 꼭지점으로 하는 삼각형을 그려 합동인 4개의 작은 정삼각형을 만든다.
     3. 가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정삼각형만 남긴다.
         이 때, 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 삼각형의 1/2이고 넓이는 1/4이다.
     4. 남아있는 3개의 색칠되어진 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행한다.
     5. 이런 과정을 무한히 되풀이하면 평면상에 점들의 집합이 나타나는 데 이것이
시에르핀스키 삼각형이다.

  각 단계별로 생기는 삼각형의 수를 살펴보면 0단계에서 1개, 1단계에서 3개, 2단계에서 9개가 남는다. 다음 3단계에서 27개의 작은 삼각형이 생기고, 4단계에서 81개가 생긴다. 이런 과정이 반복되면 n단계에서는 3^n개의 작은 삼각형들이 남는 것을 알 수 있다. 또 n단계 후에 생기는 삼각형의 한 변의 길이는 처음에 주어진 변의 길이의 정확히 1/2^n이다.

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Posted by Real_G