벡터 외적

Computer_Graphics : 2007.03.14 01:43

외적( cross product, outer product.)은 벡터 곱(vector product)이라고도 한다. 두 3차원 벡터들의 외적은 두 벡터에 대해 수직인 새로운 벡터이다. 외적은 컴퓨터 그래픽에서 매우 유용하게 쓰인다. 한 가지 용도는 표면의 한 점에 대해 서로 다른 두 접선벡터들이 주어졌을 때 그 표면에 대해 수직인 법선벡터를 구하는 것이다.

두 3D(3차원) 벡터 P와 Q의 외적은 P×Q로 표기한다.  다음 식은 P×Q 벡터이다.

P와 Q벡터의 성분: P = ( px, py, pz ),   Q = ( qx, qy, qz )

 

     P×Q =  ( PyQz - PzQy,  PzQx - PxQz,  PxQy - PyQx )

 

P×Q =  ( PyQz - PzQy, PzQx - PxQz, PxQy - PyQx )


이 식이 외우기 힘들다면, 의사행렬식을 이용해서 직접 계산하면 된다.


P×Q =  │    i       j      k     │

            │   Px    Py    Pz    |

             |   Qx    Qy    Qz   |


여기서 i, j, k는 각각 x, y, z 축에 평행인 단위벡터


           i = (1, 0, 0)

           j = (0, 1, 0)

           k = (0, 0, 1) 


위 식의 우변을 의사행렬식이라고 부르는 이유는, 행렬의 제일 첫 행은 벡터들인 반면 나머지는 스칼라들이기 때문이다. 그렇긴 해도 일반적인 방법으로 행렬식을 전개하면 다음처럼 제대로 된 외적이 나오게 된다.


|    i       j      k    │

|   Px    Py    Pz   |  = i (PyQz - PzQy) - j (PzQx - PxQz) + k (PxQy - PyQx)

|   Qx    Qy    Qz  |


또한 외적 P×Q 는 Q에 대한 P의 연산으로부터 유도된 선형변환으로도 표현할 수 있다.

식은 다음에 정리 되는데로...

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Posted by Real_G